\documentclass[12pt]{article} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[T2A]{fontenc} %\usepackage[cp866]{inputenc} %\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,euscript} \textwidth=16cm \textheight=23cm \oddsidemargin=0.0 in \hoffset=0.0cm \voffset=-2.0cm \begin{document} \Large \begin{titlepage} \begin{center} \phantom 1 Федеральное агентство по образованию \\ ГОУВПО "Удмуртский государственный университет" \vskip 6cm {\bf СВЕРТКА, ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ}\\ \phantom 1 \vskip 2cm Методические указания и задачи\\ по теории обобщенных функций \phantom 1 \vskip 6.5cm Ижевск 2009 \end{center} \end{titlepage} %\setcounter{page}{2} \begin{titlepage} УДК 517.5 ББК 22.16 \phantom 1 О 94 \vskip 1.5cm Составитель Ю.П.Чубурин \vskip 2cm О 94 {\bf Свертка, прямое произведение и преобразование Фурье обобщенных функций :} Метод. указания и за\-да\-чи по теории обобщенных функций / Сост. Ю.П.Чубурин. Ижевск, 2009. 14 с. \vskip 1cm В методические указания включены задачи по указанным разделам теории обоб\-щенных функций. Более сложные задачи снабжены указа\-ни\-я\-ми. Для удобства приводятся сведения из теории. Предназна\-чено для студентов-математиков и препода\-вателей. \phantom 1 \hskip 8.5cm УДК 517.5 \hskip 8.5cm ББК 22.16 \vskip 2.5cm \hskip 5.5cm \copyright \, Ю.П.Чубурин, сост., 2009 \hskip 5.5cm \copyright \, ГОУВПО "Удмуртский \hskip 6.5cm государственный универ\-ситет", \hskip 6.5cm 2009 \end{titlepage} \newpage \setcounter{page}{3} \begin{center} {\bf Предисловие} \end{center} При чтении и слушании курса по обобщенным функциям (важность этого курса в самой математике и ее приложениях не нуждается в доказательствах) возникает потребность в более или менее стандартном задачнике. Данные методичес\-кие указания -- это попытка составления второй и последней части такого задачника. В разработке собраны задачи из книг, перечисленных в списке литературы, но есть и новые задачи. Более сложные задачи снабжены указаниями. Для удобства пользования приведены необходи\-мые сведения из теории.\\ Пред\-ложенные задачи могут быть использованы при чтении спец\-курса по обобщенным функци\-ям как на семинар\-ских заня\-тиях, так и для семестровых зада\-ний. Основные понятия теории обобщенных функций предпола\-гаются известными, но при этом более простые понятия иног\-да напоминаются. Используемые обозначения вполне стандартны. Так, че\-рез ${\cal D}({\bf R})$ обозначается пространство бесконечно дифференциру\-емых функций с компактным носителем, через ${\cal S}({\bf R})$-- прост\-ранство бесконечно дифференцируемых функций, убываю\-щих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени. Через ${\cal D'}({\bf R})$ и ${\cal S'}({\bf R})$ обозначаются сопряжен\-ные к указанным пространствам, т. е. пространства обобщен\-ных функций. \vskip 0.5cm \begin{center}{\bf 1. Свертка, прямое произведение и преобразование Фурье функций} \end{center}\vskip 0.5cm Через $L^1_{{\rm loc}}({\bf R})$ будет обозначаться линейное пространство всех локально интегрируемых (т. е. интегрируемых по Лебегу на любом ограниченном измеримом множестве) функций на ${\bf R}$. В частности, непрерывные функции локально интегрируе\-мы. Пусть $f,g \in L^1_{{\rm loc}}({\bf R})$. {\it Сверткой} $f\ast g$ функций $f$ и $g$ называ\-ет\-ся функция, определяемая формулой: $$ (f\ast g)(x)=\int _{{\bf R}}f(x-y)g(y)dy $$ в случае, если для почти всех $x$ интеграл в правой части существует. В частности, свертка существует, если одна из функций имеет компактный носитель. ( Функция имеет ком\-пактный носитель, если она тождественно равна нулю вне некоторого ограни\-чен\-ного интервала.) Свертка также сущест\-вует, если $f,g\in {\cal S}({\bf R})$, при этом $(f\ast g)(x)\in {\cal S}({\bf R})$. Все вышесказанное практически без изменений переносится на случай функций, определенных на ${\bf R}^n$. Пусть $f,g \in L^1_{{\rm loc}}({\bf R})$. {\it Прямым (тензорным) произведением} $f\otimes g$ функций $f$ и $g$ называется функция $f(x)g(y)$, определен\-ная на ${\bf R}\times {\bf R}$. Преобразованием Фурье функции $f\in L^1({\bf R})$ называется функция $$ (Ff)(p)=\hat{f}(p)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{{\bf R}}e^{-ipx}f(x)dx. $$ Преобразование Фурье осуществляет линейное непрерывное взаимно-однозначное отображение пространства ${\cal S}({\bf R})$ на себя. При этом обратное отображение (обратное отображение Фурье) задается формулой $$ (F^{-1}g)(x)=\check{g}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{{\bf R}}e^{ixp}g(p)dp. $$ Преобразование Фурье в пространстве ${\cal S}({\bf R})$ обладает следу\-ю\-щими свойствами: $$ F(\varphi ^{(l)})(p)=(ip)^lF(\varphi )(p); $$ $$ (F\varphi )^{(l)}(p)=F((-ix)^l\varphi )(p); $$ $$ (F\varphi (x-x_0 ))(p)=e^{-ipx_0}F(\varphi (x))(p); $$ $$ (Fe^{-iax}\varphi (x))(p)=F(\varphi (x))(p+a). $$ Все сказанное переносится на случай функций, определен\-ных на ${\bf R}^n$, но при этом в преобразовании Фурье произведение $xp$ нужно заменить на скалярное произведение $(x,p)$ в ${\bf R}^n$. \vskip 0.5cm {\bf Задачи и упражнения}\vskip 0.5cm 1. Доказать, что если $f,g \in C({\bf R})$ и одна из функций имеет компактный носитель, то для $\varphi \in {\cal D}({\bf R})$ справедлива формула $$ \int _{{\bf R}}(f\ast g)(x)\varphi (x)dx=\int _{{\bf R}^2}f(z)g(y)\varphi (z+y)dydz. $$ 2. Используя задачу 1, доказать коммутативность свертки, т. е. равенство $f\ast g=g\ast f$. 3. Доказать ассоциативность свертки, т. е. равенство $(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$ в случае, если две из трех функций имеют компактный носитель. ({\it Указание}. С помощью задачи 1 нужно получить формулу $$ \int _{{\bf R}}((f\ast g)\ast h)(x)\varphi (x)dx=\int _{{\bf R}^3}f(x)g(y)h(z)\varphi (x+y+z)dxdydz.) $$ 4. Пусть $A,B\subset {\bf R}$, тогда, по определению, $A+B=\{ x+y: x\in A, y\in B\}$. Доказать, что ${\rm supp} (f\ast g)\subset {\rm supp} f+{\rm supp}g.$ (По определению, носителем ${\rm supp} f$ функции $f$ называется мно\-жест\-во $$ {\rm supp} f =\overline {\{ x\in {\bf R}: \varphi(x)\neq 0\}}, $$ где черта означает замыкание.)\,({\it Указание}.Используя задачу 1, доказать, что если ${\rm supp} \varphi \cap ({\rm supp} f+{\rm supp}g)=\emptyset$, то $$ \int _{{\bf R}}(f\ast g)(x)\varphi (x)dx=0.) $$ 5. Доказать, что если $f\in L^1({\bf R})$, то $\hat{f}\in L^{\infty}({\bf R})$. 6. Доказать равенство $F(f\otimes g)=Ff\otimes Fg$. 7. Доказать включение ${\rm supp} (f\otimes g)\subset {\rm supp} f\times {\rm supp}g$. 8. Доказать, что если $f,g \in C({\bf R})$ и одна из функций имеет компактный носитель, то $(f\ast g)(x)\in C({\bf R})$ . ({\it Указание}. Использовать теорему Лебега о предельном переходе.) 9. Доказать, что если $f,g \in L^1({\bf R})$ то $(f\ast g)(x)\in L^1({\bf R})$ . ({\it Указание}. Использовать теорему Фубини.) 10. Доказать, что если $f,g \in L^{2}({\bf R})$ то $(f\ast g)(x)\in L^{\infty}({\bf R})$ . ({\it Указание}. Использовать неравенство Коши-Буняковского.) 11. Доказать, что если $f,g \in {\cal S}({\bf R})$ то $(f\ast g)(x)\in C^{\infty}({\bf R})$, причем $$(f\ast g)^{(k)}(x)=(f^{(k)}\ast g)(x)=(f\ast g^{(k)})(x).$$ ({\it Указание}. Доказательство проводится по индукции, поэтому, фактически, достаточно доказать, что существует производ\-ная $(f\ast g)^{'}(x)=(f^{'}\ast g)(x)\in C^{(1)} ({\bf R})$. Для этого нужно рассмотреть предел разностного отношения и воспользоваться тео\-ремой Лебега о предельном переходе.) 12. Вычислить $\chi _{[a,b]}\ast \chi _{[c,d]}$, где через $\chi _{[a,b]}$ обозначается харак\-теристическая функция отрезка $[a,b]$. 13. Найти преобразование Фурье функции $\chi _{[a,b]}(x)$. 14. Найти преобразование Фурье функций: а) $1/(x+2i)$; б) $1/(x^2+a^2),\,a>0$; в) $1/(x^2+2x+2)$; г) $1/x^2-6x+13$.({\it Указание}. Нужно использовать вычеты.) \begin{center}{\bf 2. Свертка, прямое произведение и преобразование Фурье обобщенных функций} \end{center}\vskip 0.5cm {\it Сверткой} $T\ast S$ двух обобщенных функций $T,S\in {\cal D}'({\bf R})$, одна из которых имеет компактный носитель, называется обоб\-щенная функция $T\ast S\in {\cal D}'({\bf R})$, определяемая формулой $$ =>= $$ $$ , \varphi \in {\cal D}({\bf R}). $$ (Обобщенная функция $T$ имеет компактный носитель, если $=0$ для функций $\varphi$ с носителями вне некоторого ограни\-чен\-ного интервала.) Свертка обобщенных функций коммутативна и ассоциатив\-на. {\rm Прямым (тензорным)} произведением обобщенных функций $T,S\in {\cal D}'({\bf R})$ называется обобщенная функция $T\otimes S\in {\cal D}'({\bf R}^{2})$, определенная следующей формулой: $$ =>, $$ $$\varphi (x,y)\in {\cal D}({\bf R}^2). $$ В частности, если $\varphi (x,y)=\varphi _1(x)\varphi _2(y)$, то $$ =. $$ Преобразование Фурье $FT=\hat T$ обобщенной функции $T\in {\cal S}'({\bf R})$ определяется формулой $$ =, \,\varphi\in {\cal S}({\bf R}). $$ Легко проверить, что $\hat \delta =1/\sqrt {2\pi}$. Преобразование Фурье осуществляет линейное непрерывное взаимно-однозначное отображение пространства ${\cal S}'({\bf R})$ на себя и обладает следу\-ю\-щими свойствами: $$ F(T^{(l)})(p)=(ip)^lF(T)(p); $$ $$ (FT)^{(l)}(p)=F((-ix)^lT)(p); $$ $$ (F(T(x-x_0 )))(p)=e^{-ipx_0}F(T(x))(p); $$ $$ (F(e^{-iax}T(x))(p)=F(T(x))(p+a). $$ Все сказанное переносится на случай обобщенных функций, определенных на ${\bf R}^n$. \vskip 0.5cm {\bf Задачи и упражнения}\vskip 0.5cm 15. Доказать, что $(S\ast T)^{(m)}=S^{(m)}\ast T=S\ast T^{(m)}$. 16. Доказать, что $\delta ^{(m)}\ast T=T^{(m)}$. 17. Вычислить: а) $\delta (x-a)\ast \delta (x-b)$; б) $\delta ' (x)\ast \vartheta (x)$; в) $\delta (x-a) \ast \vartheta (x)$; г) $\delta '(x)\ast 1$; д) $\delta '(x-a)\ast \delta '(x-b)$; е) $\delta ^{(m)} (x) \ast x$. 18. Записать в виде свертки действие дифференциального оператора с постоянными коэффициентами: $$ L(\varphi )=\sum _{i=1}^{n}c_i\varphi ^{(i)}=T\ast \varphi; $$ здесь $c_i={\rm const}, \, i=1,...,n,$ функция $\varphi \in {\cal S}({\bf R})$ произвольна, а $T\in {\cal S'}({\bf R})$ нужно найти. 19. Доказать равенство $T\ast 1=={\rm const},$ где $T\in {\cal S'}({\bf R})$ имеет компактный носитель. 20. Пусть одна из обоб\-щенных функций $T, S$ имеет компактный носитель. Доказать формулу $(T\ast S)(-x) =T(-x)\ast S(-x)$. 21. Доказать, что ${\rm supp}(T\otimes S)\subset {\rm supp}T\times {\rm supp}S.$ 22. Доказать, что $\delta (x)\otimes \delta (y)=\delta (x,y).$ 23. Найти преобразование Фурье функций: а)$\theta(x)$; б)$$\theta(x)e^{-ax}, a>0;$$ г) $$\frac {e^{2ix}}{x+3i}.$$ ({\it Указание} к п.а. Имеем $\theta (x)={\rm lim} _{\varepsilon \to 0}\theta (x)e^{-\varepsilon x}$,где $\varepsilon>0$. Нужно непосредственно вычислить преобразование Фурье фун\-кции $\theta(x)e^{-\varepsilon x}$ и перейти к пределу.) 24. Найти преобразование Фурье функции ${\rm sgn} x$ (${\rm sgn} x=1,\, x\geq 0;\, {\rm sgn} x=0, \, x<0.)$ ({\it Указание}. Нужно выразить ${\rm sgn} x$ через $\theta(x)$ и воспользоваться задачей 23.) 25. С помощью уже известных примеров преобразования Фурье и свойств преобразования Фурье вычислить преобразо\-вание Фурье следующих функций: а) 1; б) $\delta ^{(k)}(x-a)$; в) $\vartheta (kx+a)$; г) $x^m$; д) $|x|^{2m+1}$; е) $x^{2m}{\rm sgn} x$. 26. C помощью формул Сохоцкого найти преобразо\-вание Фурье функции ${\rm vp} (1/x)$. \vskip 0.5cm \begin{center}{\bf 3. Приложения к дифференциальным уравнениям} \end{center}\vskip 0.5cm Пусть $P(x)=a_0x^n+...+a_{n-1}x+a_n$ - многочлен $n$-й степени. Обозначим через $P(d/dx)=a_0d^n/dx^n+...+a_{n-1}d/dx+a_n$ обыкновенный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, действующий в пространстве ${\cal S}'({\bf R})$. Его {\it фундаментальным решением } называется решение $G\in {\cal S}'({\bf R})$ уравнения $$P(d/dx)G=\delta . \eqno (1) $$ После преобразования Фурье дифференциальное уравнение (1) превращается в алгебраическое уравнение $$P(ip)\hat G=1/\sqrt {2\pi}. \eqno (2) $$ Если многочлен $P(ip)$ не обращается в нуль при $p\in {\bf R}$, то уравнение (2), очевидно, имеет единственное решение $\hat G(p)=1/\sqrt {2\pi}P(ip)$, и фундаментальное решение $G(x)$ находится как обратное преобразование Фурье функции $\hat G(p)$. Хотя бы одно фундаментальное решение существует всегда (см. примеры ниже). Его также можно найти по формуле $$G(x)=\vartheta (x) f(x), \eqno (3)$$ где $f$ -- решение уравнения $P(d/dx)f=0$, удовлетворяющее граничным условиям $f(0)=...=f^{(n-2)}(0)=0, f^{(n-1)}(0)=1.$ Пусть имеется неоднородное дифференциальное уравнение $$P(d/dx)T=S \eqno (4)$$ с правой частью $S\in {\cal S}'({\bf R}).$ В случае, если существует свертка $G\ast S$, (обобщенная) функ\-ция $$T=G\ast S \eqno (5)$$ является частным решением уравнения (4). {\sc Пример 1.} Найдем фундаментальное решение оператора $d^2/dx^2+1$. После преобразования Фурье имеем уравнение $(-p^2+1)\hat G=1/\sqrt {2\pi}$, откуда (формально) $\hat G(p)=1/\sqrt{2\pi}(-p^2+1)$ и, далее, $$ \hat G(p)=\frac {1}{2\sqrt{2\pi}}(\frac {1}{p+1}-\frac {1}{p-1}). $$ Выражениям $$ \frac {1}{p+1}, \,\,\frac {1}{p-1} \eqno (6) $$ обобщенные функции сопоставляются неоднозначно. Так, вы\-ражению $1/(p+1)$ можно сопоставить одну из следующих трех обобщенных функций: $$ {\rm vp}\frac {1}{p+1}, \,\,\frac {1}{p+1+i0},\,\,\frac {1}{p+1-i0}.\eqno (7) $$ (Это связано с тем, что в рассматриваемом случае решение уравнения (2) находится неоднозначно; разность любых двух из функций (7) в силу формул Сохоцкого есть $f={\rm const}\,\,\delta$ и удовлетворяет уравнению $P(ip)f=0$.) Процесс такого сопо\-ставления называется {\it регуляризацией} выражений (6). Факти\-чески, после обратного преобразования Фурье, это есть один из наиболее естественных выборов частного решения уравне\-ния (1). Заметим, что нахождение фундаментального решения в классе ${\cal S}'({\bf R})$ может быть единственным, а в классе ${\cal D}'({\bf R})$ -- нет, например, если решения однородного уравнения (в случае $n=2$) имеют вид $e^{a_jx}, \, a_j\in {\bf R}\setminus \{0\}$ (эти функции не принадле\-жат пространству ${\cal S}'({\bf R})$.) Выбрав (произвольно или имея в виду требуемые свойства или простоту получаемой формулы) регуляризацию, полу\-ча\-ем, для определенности, следующее ра\-венство: $$ \hat G(p)=\frac {1}{2\sqrt{2\pi}}(\frac {1}{p+1-i0}-\frac {1}{p-1+i0}). $$ Отсюда $$ G(x)=F^{-1}(\hat G(p))= $$ $$ =F^{-1}({\rm lim}_{\varepsilon \to 0}\frac {1}{2\sqrt{2\pi}} (\frac {1}{p+1-i\varepsilon} -\frac {1}{p-1+i\varepsilon})= $$ $$ ={\rm lim}_{\varepsilon \to 0}F^{-1}(\frac {1}{2\sqrt{2\pi}} (\frac {1}{p+1-i\varepsilon} -\frac {1}{p-1+i\varepsilon}))= $$ $$ =\frac {1}{2(2\pi)}{\rm lim}_{\varepsilon \to 0}\int _{{\bf R}}e^{ipx} (\frac {1}{p+1-i\varepsilon} -\frac {1}{p-1+i\varepsilon})dp= $$ $$ =\frac {1}{2(2\pi)}{\rm lim}_{\varepsilon \to 0}2\pi i({\rm res}_{-1+i\varepsilon}(e^{ipx} \frac {1}{p+1-i\varepsilon})- $$ $$ -{\rm res}_{1-i\varepsilon}(e^{ipx} \frac {1}{p-1+i\varepsilon})). $$ Применяя и далее теорию вычетов, получаем, что данное вы\-ра\-жение равно при $x\geq 0$ $$ \frac {1}{2(2\pi)}{\rm lim}_{\varepsilon \to 0}2\pi ie^{i(-1+i\varepsilon)x}= \frac {1}{2(2\pi)}2\pi ie^{-ix} $$ и при $x< 0$ $$ \frac {1}{2(2\pi)}{\rm lim}_{\varepsilon \to 0}2\pi i e^{i(1+i\varepsilon)x}=\frac {1}{2(2\pi)}2\pi i e^{ix}. $$ Окончательно $$ G(x)=-\frac {1}{2i}e^{-i|x|}. $$ \vskip 0.5cm {\bf Задачи и упражнения}\vskip 0.5cm 27. Найти двумя способами фундаментальное решение сле\-ду\-ющих дифференциальных операторов: а) $d/dx -1$; б) $2d/dx +3$; в) $d^2/dx^2+5d/dx-6$; г) $d^2/dx^2-d/dx-2$; д) $d^2/dx^2+d/dx-2$; е) $d^2/dx^2+a^2$.({\it Указание}. Нужно следовать формуле (3) и примеру 1 с соот\-вет\-ствующими упрощениями. Так, во всех пунктах, кроме е), не нужна регуляризация. Разность найденных решений должна удовлетворять однородному урав\-нению для данного операто\-ра.) 28. С помощью формулы (5) найти частные решения неодно\-родных уравнений: а) $y'-2y=\chi _{[0,1]}(x)$; б) $y'+y=2\chi _{[0,2]}(x)$; в) $y''+3y'+2y=-\chi _{[0,1]}(x)$; г) $y''+5y'+4y=\chi _{[0,1]}(x)-\chi _{[-1,0]}(x).$ \newpage \begin{center}{\bf Список литературы} \end{center} \vskip 0.5cm 1. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функ\-ционального анализа. М.: Наука, 1979. 2. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965. 3. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Минск: Вышейш. шк., 1978. 4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 5. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 6. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физи\-ки. М.: МЦНМО, 2001. 7. Треногин В.А. Методы математической физики. М.-\\Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. \newpage \phantom 1 \vskip 6cm \begin{center} {\bf Юрий Павлович Чубурин} \vskip 1cm {\bf Свертка, прямое произведение и преобразование Фурье обобщенных функций}. Методические указания и задачи по теории обобщенных функций \end{center} \vskip 6cm Подписано в печать ?\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Формат 60$\times$84$\frac{1}{16}$. Печать офсетная. Усл. печ. л. ?. Уч.-изд. л. ?. Тираж 80 экз. Заказ N \, \, ?. Редакционно-издательский отдел УдГУ. Типография ГОУ ВПО "Удмуртский госуниверситет". 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4. \end{document}