Ф.А. Галиева

ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ

[figure: φ; ρ; 1; -1; \frac{π}{2}; π; \frac{3π}{2}; 2π]

Ижевск 2010

Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО �Удмуртский государственный университет� Кафедра математического анализа

Ф. А. Галиева

ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ

Учебное пособие

Ижевск 2010 УДК 517.2(07) ББК 22.161.11я7

Г 157

Рекомендовано к изданию Учебно — методической комиссией УдГУ

Галиева Ф. А. Г 157 Построение кривых: учеб. пособие. — Ижевск: Изд - во �Удмуртский университет�, 2010. — 43 с.

В пособии даны методические указания по построению кривых, а также типовые расчёты для самостоятельной работы студентов.

Пособие предназначено для студентов I курса математических и инженерных специальностей.

УДК 517.2(07) ББК 22.161.11я7

©Ф. А. Галиева, 2010 ©ГОУВПО �Удмуртский государственный университет�, 2010

Предисловие

Данное пособие посвящено исследованию функций и построению кривых. Предполагается, что студент знаком с основными понятиями дифференциального исчисления для функции одной переменной.

Как правило, основную трудность для студентов представляет само изображение кривой. После исследования функции студент затрудняется "собрать" график функции. Для облегчения этого процесса автор предлагает сначала изобразить эскиз графика функции по меньшему количеству пунктов исследования функции, может быть, даже пропуская некоторые пункты. Так, при построении эскиза дробно-рациональных функций можно не находить область определения функции, поскольку она будет учтена в пункте "Разрывы". И только после изображения эскиза предлагается окончательно вычертить график функции при помощи дополнительных исследований (нахождение экстремумов, участков монотонности, выпуклости и вогнутости функции и т.д.)

В этом пособии уделено внимание также кривым, заданным параметрически и в полярных координатах.

В последнем пункте методического пособия даны варианты лабораторной работы для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов математического, физико – энергетического факультетов, факультета ИТиВТ, а также, частично, для нефтяного факультета, института гражданской защиты, ИППиСТ и других факультетов, где более углублённо изучается математика.

I. Построение графика функции, заданной уравнением y = f(x)

Исследование функции и построение её графика целесообразнее проводить по следующей схеме.

1. Построить эскиз графика функции.

2. Найти промежутки монотонности функции и указать локальные экстремумы функции.

3. Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

4. Окончательно вычертить график с учетом пунктов 2 и 3. Для построения эскиза графика функции надлежит выполнить

следующее:

1. Найти область определения функции.

2. Отметить специфические особенности функции, если они очевидны (например, четность, нечетность, периодичность).

3. Найти нули функции, т.е. те точки, в которых функция обращается в нуль: f(x) = 0.

4. Найти разрывы функции и исследовать поведение функции около этих точек (возможно наличие вертикальных асимптот:

lim_{x→x_{0}} f(x) = ∞).

5. Отметить знаки функции в интервалах, образованных нулями и точками разрыва функции (например, методом интервалов).

6. Выяснить асимптотическое поведение функции при подходе к граничным точкам области определения и, в частности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты, если они существуют.

П р и м е р 1. Изобразить график функции

y = \frac{(x + 4)(x + 1)}{(x + 2)^{2}}.

1) Построим эскиз графика функции. Для этого в декартовой системе координат отметим нули функции (рис.1): x_{1} = −4, x_{2} = −1. Точкой разрыва является точка x_{3} = −2. Поскольку

lim_{x→−2} \frac{(x + 4)(x + 1)}{(x + 2)^{2}} = ∞,

то в точке x_{3} имеем вертикальную асимптоту x = −2. Расставим знаки в получившихся интервалах. Так как lim_{x→±∞} y(x) = 1, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

[figure: x; y; 0; -1; -2; -4; 1; +; +]

Рис. 1

2) Найдём экстремумы функции. Для этого вычислим производную функции: y′ = \frac{−x+2}{(x+2)^{3}}

x = 2 - критическая точка. Исследуем знак производной.

5

[figure: y′; 2; -2; +]

x = 2 - точка максимума, y_{max} = y(2) = \frac{9}{8} > 1

3) Найдём точки перегиба графика функции. Нетрудно показать, что вторая производная функции будет равна y′′ = \frac{2x−8}{(x+2)^{4}}

x = 4 - критическая точка. Исследуем знак второй производной и участки выпуклости и

вогнутости функции.

[figure: y′′; 4; -2; +; ⋂; ⋂; ⋃]

x = 4 - точка перегиба, y(4) = \frac{10}{9} .

Вычертим окончательный график функции.

[figure: x; y; 2; 4; -1; -2; -4; 1; \frac{9}{8}]

Рис. 2 П р и м е р 2. Изобразить график функции y = 2x^{3} − 3x^{2} − 1

В некоторых случаях нули функции можно отыскать лишь приближенно. Для этого найдём экстремумы данной функции. Вычислим производную: y′ = 6x^{2} − 6x = 6x(x − 1)

Исследуем знак производной.

[figure: y′; 1; 0; +; +]

x_{1} = 0 - точка максимума функции, x_{2} = 1 - точка минимума функции.

Вычислим значения функции в этих точках: y(0) = −1, y(1) = −2. Отметим также, что lim_{x→+∞}(2x^{3} − 3x^{2} − 1) = +∞, а lim_{x→−∞}(2x^{3} − 3x^{2} − 1) = −∞. Изобразим эскиз графика функции (см. рис. 3).

[figure: x; y; 0; 1; -1; -2; ?]

Рис. 3

7

Таким образом, данная функция имеет единственную точку пересечения с осью Ox. Так как y(2) = 3 > 0, то нуль функции находится в интервале (1; 2). Более точно это значение можно вычислить, например, методом деления отрезка пополам (x_{0} ≈ 1, 687).

Найдём точки перегиба графика. Вторая производная функции равна y′′ = 12x − 6

\overline{}+^{\frac{1}{2}}  ⋃ ⋂

x = \frac{1}{2} - точка перегиба, y(\frac{1}{2}) = −\frac{3}{2} Асимптот график функции не имеет.

Вычертим окончательный график функции:

[figure: x; y; 0; \frac{1}{2}; 1; x_{0}; 2; -1; - \frac{3}{2}; -2]

Рис. 4 П р и м е р 3. Изобразить график функции y = x − 3x^{\frac{2}{3}}

1) Найдём нули функции. Поскольку x − 3x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{1}{3}} − 3), то нулями функции являются точки x_{1} = 0, x_{2} = 27. Отметим их в системе координат и расставим знаки в получившихся интервалах. Заметим, что lim_{x→∞}(x − 3x^{\frac{2}{3}} ) = ∞. Легко показать, что наклонных асимптот график функции не имеет. Изобразим эскиз графика функции

[figure: x; y; 0; 27; +]

Рис. 5

2) Исследуем функцию на экстремум. Для этого найдём производную функции:

y′ = 1 − 2x^{− \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{x} − 2}{\sqrt[3]{x}}

x_{1} = 0, x_{2} = 8 - критические точки. Исследуем знак производной.

9

[figure: y′; 8; 0; +; +]

x_{1} = 0 - точка максимума, x_{2} = 8 - точка минимума.

Обратите внимание, что y′(±0) = lim_{x→0} y′(x) = ∞. Поэтому, при x = 0 график функции имеет вертикальную касательную.

3) Найдём точки перегиба. Вычислим вторую производную функции: y′′ = \frac{2}{3}x^{− \frac{4}{3}} .

Поскольку для любого x ≠ 0 вторая производная функции y′′ > 0, то в интервалах (−∞, 0) и (0, ∞) функция является вогнутой.

Окончательно, график функции будет выглядеть следующим образом (рис. 6):

[figure: x; y; 0; 8; 27]

Рис. 6 П р и м е р 4. Изобразить график функции y = e^{tg x}

1) Поскольку данная функция имеет период, равный π, то достаточно исследовать функцию на отрезке [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]. Отметим, что функция на всей области определения положительна; в точках x_{1} = −\frac{π}{2} и x_{2} = \frac{π}{2} функция не определена и

lim_{x→− \frac{π}{2} +0} e^{tg x} = 0, lim_{x→ \frac{π}{2} −0} e^{tg x} = ∞

Здесь рекомендуется изобразить эскиз графика функции.

2) Исследуем функцию на экстремум. Найдём производную функции:

y′ = \frac{e^{tg x}}{cos^{2}x}

Для любого x ∈ (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ) производная y′ > 0. Следовательно, экстремумов нет и функция возрастает на интервале (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ). Заметим,что

lim_{x→− \frac{π}{2} +0} y′(x) = lim_{x→− \frac{π}{2} +0} \frac{e^{tg x}}{cos^{2}x} = lim_{x→− \frac{π}{2} +0}(tg^{2}x + 1)e^{tg x}.

Сделав замену tg x = t, вычислим этот предел по правилу Лопиталя:

lim_{x→− \frac{π}{2} +0} y′(x) = lim_{t→−∞}(t^{2} + 1)e^{t} = lim_{t→−∞} \frac{t^{2} + 1}{e^{−t}} = lim_{t→−∞} 2e^{t} = 0

Таким образом, предельное положение касательных к кривой при x → −\frac{π}{2} + 0 совпадает с горизонтальной прямой, а именно с осью Ox.

11

3) Найдём точки перегиба. Для этого вычислим вторую производную функции:

y′′ = \frac{e^{tg x}(1 + sin 2x)}{cos^{4}x}

Так как для любого x ∈ (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ) y′′ ⩾ 0 , то на интервале (−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2} ) функция вогнута.

Изобразим график функции

[figure: x; y; 0; \frac{π}{2}; \frac{3π}{2}; - \frac{π}{2}; - \frac{3π}{2}; 1]

Рис. 7

II. Построение кривых, заданных параметрически

Построение кривой, заданной уравнениями \{ \begin{matrix}x = x(t) \\ y = y(t) \end{matrix} ,

также следует начать с изображения эскиза. Для этого нужно построить два вспомогательных графика функций x = x(t) и y = y(t) и, разбив ось t на интервалы (например, интервалы монотонности функций x(t) и y(t)), исследовать на каждом интервале поведение переменных x и y с ростом параметра t, затем изобразить эскиз кривой. Далее необходимо провести дополнительные исследования:

1) Найти точки самопересечения кривой, т. е. значения параметра α и β, для которых выполнены условия:

\{ \begin{matrix}α ≠ β \\ x(α) = x(β) \\ y(α) = y(β) \end{matrix}

2) Отыскать касательные, параллельные осям координат, т. е. те значения параметра t, при которых x′(t) = 0, y′(t) ≠ 0, либо y′(t) = 0, x′(t) ≠ 0.

3) Найти особые точки кривой, т. е. точки M(x(t_{0}), y(t_{0})), для которых x′(t_{0}) = 0 и y′(t_{0}) = 0 и определить тип этих точек.

Определение типа особой точки стоит начать с нахождения уравнения касательной к кривой в точке M в виде y − y_{0} = k(x − x_{0}), где

x_{0} = x(t_{0}), y_{0} = y(t_{0}), k = lim_{t→t_{0}} \frac{y(t) − y_{0}}{x(t) − x_{0}}

Далее, пусть r^{(k)}(t_{0}) = (x^{(k)}(t_{0}), y^{(k)}(t_{0})) - первая отличная от нуля

13 производная вектор - функции r(t) = (x(t), y(t)), а r^{(n)}(t_{0}) - первая из производных, не коллинеарных вектору r^{(k)}(t_{0}).

Рассмотрим следующие случаи: а) k - нечётное, n - чётное; б) k - нечётное, n - нечётное; в) k - чётное, n - нечётное; г) k - чётное, n - чётное.

На рисунке 8 изображены расположения кривых в окрестности особой точки по отношению к касательной. В случае а) точка M – обыкновенная точка (рис. 8, а). В случае б) точка M является точкой перегиба (рис. 8, б). В случаях в) и г) точка M является точкой возврата I и II рода соответственно (рис. 8, в и г). В окрестности точки возврата I рода, кривая расположена по разные стороны от касательной. В случае точки возврата II рода кривая расположена по одну сторону от касательной.

[figure]

а) б)

[figure]

в) г)

Рис. 8

Для нахождения производных иногда удобнее, пользуясь известными разложениями элементарных функций, разложить функции x(t) и y(t) по формуле Тейлора в окрестности точки t_{0} (см. пример 6).

4) Найти значения параметра t, при которых yxx^{′′} = 0 либо yxx^{′′} не определена, т. е. значения параметра тех точек, где кривая может менять свою выпуклость.

5) Отыскать наклонные асимптоты, если таковые имеются. Предположим, что lim_{t→t_{0}} x(t) = ∞ и lim_{t→t_{0}} y(t) = ∞. Если существуют пределы k = lim_{t→t_{0}} \frac{y(t)}{x(t)} и b = lim_{t→t_{0}}(y(t) − kx(t)), то уравнение асимптоты будет иметь вид y = kx + b.

П р и м е р 5. Построить кривую, заданную уравнениями

\{ \begin{matrix}x = t^{2} − 1 \\ y = t^{3} − t \end{matrix}

15

Для изображения эскиза кривой предварительно построим вспомогательные графики функций x = x(t) и y = y(t). Удобнее расположить графики друг под другом (рис. 9 и 10).

[figure: t; x; 0; 1; -1; -1]

Рис. 9

[figure: t; y; 0; 1; -1; - \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{2}{3\sqrt{3}}]

Рис. 10

Далее, разобьём ось t на интервалы (−∞; −1), (−1, 0), (0, 1), (1, ∞). На интервале (−∞; −1) с ростом t значение x будет уменьшаться от +∞ до 0, значение y - увеличиватья от −∞ до 0 (рис. 11). На интервале (−1, 0) с ростом t значение x уменьшается от 0 до -1, в это время y сначала увеличивается от 0 до \frac{2}{3\sqrt{3}} , затем уменьшается до 0. И т. д.

Проведём дополнительные исследования.

1) Найдём точки самопересечения кривой.

Для этого решим систему

\{ \begin{matrix}α ≠ β \\ α^{2} − 1 = β^{2} − 1 \\ α^{3} − α = β^{3} − β \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}α ≠ β \\ α^{2} = β^{2} \\ α^{3} − α = β^{3} − β \end{matrix} ⟺

\{ \begin{matrix}β = −α \\ α ≠ 0 \\ α^{3} − α = −α^{3} + α \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}β = −α \\ α ≠ 0 \\ α^{3} − α = 0 \end{matrix} ⟺

\{ \begin{matrix}β = −α \\ α^{2} − 1 = 0 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}α = ±1 \\ β = ∓1 \end{matrix}

Таким образом, при α = 1 и β = −1 получаем точку (0, 0) самопересечения кривой.

2) Т. к. xt^{′} = 2t = 0 при t = 0, то в точке M_{1}(−1; 0) касательные к кривой параллельны оси ординат. При t = ±\frac{1}{\sqrt{3}} y′ = 3t^{2} − 1 = 0, поэтому в точках M_{2}(−\frac{2}{3}; \frac{2}{3\sqrt{3}}) и M_{3}(−\frac{2}{3}; −\frac{2}{3\sqrt{3}}) имеем горизонтальные касательные.

3) Особых точек нет.

17

4) Найдём yxx^{′′}.

yx^{′} = \frac{yt^{′}}{xt^{′}} = \frac{3t^{2} − 1}{2t} = \frac{3t}{2} − \frac{1}{2t}

yxx^{′′} = \frac{(yx^{′})t^{′}}{xt^{′}} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{2t^{2}}}{2t} = \frac{3t^{2} + 1}{4t^{3}}.

При t = 0 yxx^{′′} не определена, следовательно в точке M_{1}(−1; 0) кривая может менять свою выпуклость (рис. 11).

5) lim_{t→∞} x(t) = ∞, lim_{t→∞} y(t) = ∞

Поскольку lim_{t→∞} \frac{y(t)}{x(t)} = lim_{t→∞} \frac{t^{3}−t}{t^{2}−1} = ∞, наклонных асимптот нет.

[figure: x; y; - \frac{2}{3}; -1; t = 0; t = −\frac{1}{\sqrt{3}}; t = \frac{1}{\sqrt{3}}; 0; \frac{2}{3\sqrt{3}}; - \frac{2}{3\sqrt{3}}; t = 1; t = −1; t = −∞; t = ∞]

Рис. 11

П р и м е р 6. Построить кривую, заданную уравнениями

\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}}{t+2} \\ y = \frac{t^{3}}{(t+1)^{2}} \end{matrix}

Предварительно построим вспомогательные графики функций x = \frac{t^{2}}{t+2} и y = \frac{t^{3}}{(t+1)^{2}} (рис. 12 и 13)

[figure: t; x; 1; -1; -2; 2; - 4; - 2; - 8; 0; x = t − 2]

Рис. 12

19

[figure: t; y; -2; 2; - 3; - 2; - \frac{27}{4}; - 8; 0; y = t − 2; -1]

Рис. 13

Используя эти графики, изобразим эскиз кривой (рис. 14).

[figure: x; y; 1; -8; t = 0; t = ∞; t = −3; t = −4; t = −∞; t = −2; t = −1; t = −1; t = −2]

Рис. 14

1) Найдём точки самопересечения кривой. Для этого решим си-

стему \{ \begin{matrix}{α^{2} \atop α+2} = {β^{2} \atop β+2} \\ {α^{3} \atop (α+1)^{2}} = {β^{3} \atop (β+1)^{3}} \\ α ≠ β \end{matrix}

Т. к. α ≠ 0, β ≠ 0, то, разделив первое уравнение на второе, получим уравнение

{α^{2} + 2α + 1 \atop α^{2} + 2α} = {β^{2} + 2β + 1 \atop β^{2} + 2β},

21 которое равносильно α^{2} − β^{2} = −2(α − β).

Поскольку α ≠ β, то последнее уравнение примет вид α + β = −2. Подставляя в первое уравнение −2 − α вместо β, получим \frac{α^{2}}{α+2} = \frac{(α+2)^{2}}{−α}. Отсюда (α + 2)^{3} = −α^{3} . Решая последнее уравнение, получим α = −1. Но тогда β = −1. Следовательно, точек самопересечения нет.

2) Найдём производные:

xt^{′} = \frac{t(t + 4)}{(t + 2)^{2}} , yt^{′} = \frac{t^{2}(t + 3)}{(t + 1)^{3}}.

При t = −4 имеем вертикальную касательную в точке M_{1}(−8; −\frac{64}{9}), при t = −3 - горизонтальную касательную в точке M_{2}(−9; −\frac{27}{4}) (рис. 15).

3) При t = 0 получим особую точку O(0, 0). Определим её тип. Для этого разложим функцию x = x(t) по формуле Тейлора в окрестности точки t_{0} = 0:

x(t) = \frac{t^{2}}{t + 2} = \frac{t^{2}}{2} \frac{1}{1 + \frac{t}{2}} = \frac{t^{2}}{2} (1 − \frac{t}{2} + o(t)) = \frac{t^{2}}{2} − \frac{t^{3}}{4} + o(t^{3}).

Поскольку

x(t) = x(0) + x′(0)t + \frac{x′′(0)}{2!}t^{2} + \frac{x′′′(0)}{3!}t^{3} + o(t^{3}),

то x′′(0) = 1, x′′′(0) = −\frac{1}{4} · 3! = −\frac{3}{2} . Производные функции y(t) вычислим непосредственно:

y′(0) = \frac{t^{2}(t + 3)}{(t + 1)^{3}} |_{t=0} = 0, y′′(0) = \frac{6t}{(t + 1)^{4}} |_{t=0} = 0,

y′′′(0) = \frac{6(1−3t)}{(t+1)^{5}} |_{t=0} = 6 Таким образом,

r′(0) = (0, 0), r′′(0) = (1, 0), r′′′(0) = (−\frac{3}{2}; 6).

Следовательно, k = 2, n = 3, а значит, точка O(0, 0) - точка возврата I рода (рис. 8, в).

Найдём касательную в точке O. Для этого вычислим предел

k = lim_{t→0} \frac{y(t)}{x(t)} = lim_{t→0} \frac{t^{3}(t + 2)}{(t + 1)^{2}t^{2}} = 0.

Тогда касательная к кривой в точке O имеет уравнение y = 0. 4) Для нахождения точек перегиба вычислим производные

yx^{′} = \frac{yt^{′}}{xt^{′}} = \frac{t(t + 3)(t + 2)^{2}}{(t + 1)^{3}(t + 4)} ,

yxx^{′′} = \frac{(yx^{′})t^{′}}{xt^{′}} = \frac{−2(t + 2)(t^{2} − 2t − 12)}{(t + 1)^{4}(t + 4)^{2}} · \frac{(t + 2)^{2}}{t(t + 4)} =

= \frac{−2(t + 2)^{3}(t^{2} − 2t − 12)}{(t + 1)^{4}(t + 4)^{3}t}

Можно показать, что при значениях параметра

t_{1} = −4, t_{2} = 1 − \sqrt{13}, t_{3} = −2, t_{4} = 0, t_{5} = 1 + \sqrt{13}

кривая меняет свою выпуклость.

5) При t → ∞ возможна наклонная асимптота. Поскольку существуют пределы

k = lim_{t→∞} \frac{y(t)}{x(t)} = lim_{t→∞} \frac{t^{3}(t + 2)}{(t + 1)^{2}t^{2}} = 1

и

b = lim_{t→∞}(y(t) − kx(t)) = lim_{t→∞} [\frac{t^{3}}{(t + 1)^{2}} − \frac{t^{2}}{t + 2}] = 0,

23 то кривая имеет асимптоту y = x.

Окончательно кривая изображена на рис. 15.

[figure: x; y; -8; 1; t = 0; t = ∞; t = −3; M_{2}; y = x; t = −4; M_{1}; t = −∞; t = 1 − \sqrt{13}; t = −1; t = −1; t = −2; t = −2]

Рис. 15

III. Построение кривых, заданных в полярных координатах

Для изображения кривой, заданной уравнением ρ = ρ(φ) в полярной системе координат, удобнее совместить полярную и декартову прямоугольную системы координат (здесь полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс). Используя зависимость между декартовыми и полярными координатами и подставляя ρ(φ) вместо ρ, получим па-

раметрические уравнения кривой: \{ \begin{matrix}x = ρ(φ) cos φ \\ y = ρ(φ) sin φ \end{matrix} , где роль па-

раметра играет полярный угол φ. Таким образом, исследование и построение кривой сводится к исследованию и построению кривой, заданной параметрическими уравнениями. Поэтому в этом пункте ограничимся изображениями эскизов кривых, заданных в полярной системе координат.

Построение эскиза кривой следует начать с изображения вспомогательного графика функции ρ = ρ(φ), предполагая, что ρ и φ - декартовы координаты. Вспомогательный график даст наглядную информацию об области определения (область определения находится из условия ρ(φ) ⩾ 0), участках возрастания и убывания ρ(φ).

П р и м е р 7. Изобразить кривую, заданную уравнением ρ = R (здесь R = const).

Очевидно, данное уравнение задаёт окружность радиуса R с центром в начале координат (рис. 16).

25

[figure: x; y; R]

Рис. 16

П р и м е р 8. Изобразить кривую, заданную уравнением φ = \frac{π}{3} .

Данное уравнение задаёт луч, выходящий из начала координат под углом \frac{π}{3} к положительному направлению оси Ox (рис. 17).

[figure: x; y; 0]

Рис. 17 П р и м е р 9. Изобразить кривую, заданную уравнением ρ = φ (спираль Архимеда).

ОДЗ определяется из условия φ ⩾ 0. Заметим,что ρ(0) = 0 и с ростом φ величина ρ увеличивается. График изображён на рис. 18.

[figure: x; y; \frac{π}{2}; -π; - \frac{3π}{2}; 2π; \frac{5π}{2}; -3π; - \frac{7π}{2}]

Рис. 18

П р и м е р 10. Изобразить кривую, заданную уравнением ρ = sin 3φ (трёхлепестковая роза).

Построим вспомогательный график ρ = ρ(φ), обозначив горизонтальную ось через φ, вертикальную ось через ρ (рис. 19).

27

[figure: φ; ρ; - \frac{π}{3}; \frac{π}{3}; \frac{2π}{3}; \frac{4π}{3}; 1; -1; \frac{π}{6}]

Рис. 19

Далее, по вспомогательному графику определим ОДЗ: φ ∈ [\frac{2πn}{3}; \frac{π}{3} + \frac{2πn}{3}]. На промежутке [0; \frac{π}{3} ] при φ = 0 и φ = \frac{π}{3} полярный радиус ρ принимает наименьшее значение, равное 0. Наибольшее значение ρ равно 1 при φ = \frac{π}{6} . На интервале (0; \frac{π}{6} ) ρ возрастает, на интервале (\frac{π}{6} ; \frac{π}{3} ) - убывает. Изобразим кривую в секторе [0; \frac{π}{3} ]. В остальных секторах построим кривую, пользуясь периодичностью ρ(φ) (рис. 20). Заметим,что в силу периодичности ρ(φ) все точки кривой пробегаются бесконечное число раз.

[figure: x; y; ρ = 1]

Рис. 20

П р и м е р 11. Изобразить кривую, заданную уравнением ρ = sin φ.

Построим вспомогательный график (рис. 21).

Достаточно построить кривую на отрезке [0, 2π], а дальше воспользоваться периодичностью синуса.

29

[figure: φ; ρ; 1; -1; \frac{π}{2}; π; \frac{3π}{2}; 2π]

Рис. 21

ОДЗ: φ ∈ [0; π]. На отрезке [0; \frac{π}{2} ] ρ возрастает от 0 до 1, на отрезке [\frac{π}{2} ; π] ρ убывает от 1 до 0. Окончательно кривая изображена на рис. 22.

[figure: x; y; \frac{1}{2}]

Рис. 22

Покажем, что эта кривая является окружностью. Для этого умножим обе части уравнения ρ = sin φ на ρ. Тогда уравнение примет вид ρ^{2} = ρ sin φ. Затем, перейдя к декартовым координатам, получим уравнение x^{2} + y^{2} = y. Выделив полный квадрат по переменной y, последнее уравнение перепишем в виде x^{2} +(y − \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} . Таким образом, кривая является окружностью диаметра 1 с центром в точке (\frac{1}{2}; 0).

П р и м е р 12. Изобразить кривую, заданную уравнением

ρ = a cos φ (a > 0).

Повторив рассуждения примера 11, получим окружность диаметра a с центром в точке (\frac{a}{2}; 0) (рис. 23). Здесь коэффициент a отвечает за растяжение в a раз относительно начала координат.

[figure: x; y; \frac{a}{2}; 0; a]

Рис. 23

П р и м е р 13. Изобразить кривую, заданную уравнением

ρ = sin φ + 4 cos φ.

Умножим и разделим правую часть уравнения на \sqrt{17} (здесь \sqrt{17} = \sqrt{1^{2} + 4^{2}} ):

ρ = \sqrt{17} (\frac{1}{\sqrt{17}} sin φ + \frac{4}{\sqrt{17}} cos φ) .

31 Выберем угол α так, чтобы \frac{4}{\sqrt{17}} = sin α, \frac{1}{\sqrt{17}} = cos α. (например, α = arcsin \frac{4}{\sqrt{17}} ) Тогда, последнее уравнение перепишется в виде

ρ = \sqrt{17}(sin φ cos α + cos φ sin α).

Или ρ = \sqrt{17} sin(φ + α).

Это уравнение задаёт окружность диаметра \sqrt{17}, полученную из окружности ρ = \sqrt{17} sin φ поворотом на угол (−α). Удобнее окружность повернуть вместе с системой координат. Для этого направим новую ось Ox̃ по вектору с координатами (1; −4). Искомая окружность изображена на рис. 24.

[figure: x; y; ỹ; x̃; ^{\sqrt{17}}; 4; 1; ^{\sqrt{17}}]

Рис. 24

П р и м е р 14. Изобразить кривую, заданную уравнением ρ = \frac{φ}{φ+ \frac{π}{2}} .

Построим вспомогательный график (рис. 25).

[figure: φ; ρ; - \frac{π}{2}; 0; 1]

Рис. 25

ОДЗ: φ ∈ (−∞; −\frac{π}{2} ) ⋃[0; ∞). Поскольку на рис. 25 ρ = 1 является асимптотой графика функции, то в полярных координатах это уравнение будет задавать асимптотическую окружность. Так с ростом φ от 0 до ∞ величина ρ будет увеличиваться от 0 до 1, т. е. будет происходить "намотка" на единичную окружность изнутри. При изменении же φ от −\frac{π}{2} до −∞ величина ρ будет уменьшаться от ∞ до 1 ("намотка" на единичную окружность снаружи). Окончательно кривая изображена на рис. 26.

33

\begin{aligned}\overline{} & & x & y & & & & & 1 & [figure] & 1 & [figure] & -1 & -1 & [figure] & & [figure] & 0 \\ & & Рис. 26 \end{aligned} ; 34

IV. Типовые расчёты

З а д а ч а 1. Провести полное исследование функций и построить их графики.

1.1 y = {(1−x^{2})x \atop 1+x^{2}} 1.2 y = {x^{2}−6x+8 \atop x−3} 1.3 y = {(x+3)^{3} \atop (x+2)^{2}} 1.4 y = {9+6x−3x^{2} \atop x^{2}−2x+13} 1.5 y = {25−x^{2} \atop (x−1)^{2}} 1.6 y = {2x^{3}+2x^{2}−3x−1 \atop 2−4x^{2}} 1.7 y = {x^{2}−3x+2 \atop x^{2}+2x+1} 1.8 y = {2x^{2}+3x \atop x^{2}+4x+5} 1.9 y = {x^{3} \atop (x+1)^{2}} 1.10 y = {x^{3}+x \atop 3−x^{2}} 1.11 y = {x^{3} \atop x^{2}+x+1} 1.12 y = {3−x^{2} \atop x+2} 1.13 y = {x^{3}−x \atop x^{2}−3} 1.14 y = {x^{3}+3x^{2}−2x−2 \atop 2−3x^{2}} 1.15 y = {4x^{3}−3x \atop 4x^{2}−1} 1.16 y = {x^{2}−x+1 \atop x−1} 1.17 y = {(x−1)^{2} \atop x^{2}+1} 1.18 y = {x^{2}+2x−7 \atop x^{2}+2x−3} 1.19 y = {1 \atop 3+2x−x^{2}} 1.20 y = {x^{2}+3 \atop x^{2}−2x+5} 1.21 y = {x−1 \atop (x+1)^{2}} 1.22 y = {(x+1)^{2} \atop x−1} 1.23 y = {x^{2}−3x−4 \atop x+5} 1.24 y = {x^{2}+2x−3 \atop x^{2}+2x−7} 1.25 y = {4x \atop (x−1)^{2}} 1.26 y = {x^{3} \atop x^{2}−9} 1.27 y = {(x+2)^{2} \atop (x+3)^{3}} 1.28 y = {x−3 \atop x^{2}−6x+8} 1.29 y = {x^{3} \atop x^{2}−3} 1.30 y = {21−4x−x^{2} \atop (x+1)^{2}} 1.31 y = {2+2x−x^{2} \atop x+1}

З а д а ч а 2. Провести полное исследование функций и построить их графики.

2.1 y = ^{3} √(x + 3)x^{2} 2.2 y = ^{3} √(2 − x)(x^{2} − 4x + 1)

2.3 y = \sqrt[3]{(x − 4)(x + 2)^{2}} 2.4 y = \sqrt[3]{(x + 1)(x^{2} + 2x − 2)} 2.5 y = \sqrt[3]{(2 + x)(x^{2} + 4x + 1)} 2.6 y = \sqrt[3]{(x + 1)(x − 2)^{2}} 2.7 y = \sqrt[3]{(x − 1)(x + 2)^{2}} 2.8 y = \sqrt[3]{(x − 6)x^{2}} 2.9 y = \sqrt[3]{x(x − 3)^{2}} 2.10 y = \sqrt[3]{(x − 3)x^{2}} 2.11 y = \sqrt[3]{(x + 2)(x − 4)^{2}} 2.12 y = \sqrt[3]{(x − 3)(x^{2} − 6x + 6)} 2.13 y = \sqrt[3]{x(x + 6)^{2}} 2.14 y = \sqrt[3]{x(x + 3)^{2}} 2.15 y = \sqrt[3]{x(x − 6)^{2}} 2.16 y = −\sqrt[3]{(x + 3)(x^{2} + 6x + 6)} 2.17 y = \sqrt[3]{(x − 1)(x^{2} − 2x − 2}) 2.18 y = \sqrt[3]{(x + 6)x^{2}} 2.19 y = \sqrt[3]{x^{2}(3 − x)} 2.20 y = \sqrt[3]{(4 − x)(x + 2)^{2}} 2.21 y = \sqrt[3]{(x − 1)(x^{2} − 2x − 5)} 2.22 y = \sqrt[3]{(1 − x)(x + 2)^{2}} 2.23 y = \sqrt[3]{x(x^{2} − 6x + 6)} 2.24 y = −\sqrt[3]{(x + 6)x^{2}} 2.25 y = \sqrt[3]{(x + 2)(x − 1)^{2}} 2.26 y = \sqrt[3]{(1 − x)(x^{2} + 4x − 5)} 2.27 y = \sqrt[3]{(x − 2)(x^{2} + 2x − 2)} 2.28 y = \sqrt[3]{(x − 1)(x − 4)^{2}} 2.29 y = \sqrt[3]{x(3 − x^{2})} 2.30 y = \sqrt[3]{(x − 5)(x + 1)^{2}} 2.31 y = \sqrt[3]{(x − 5)^{2}(x + 1)}

З а д а ч а 3. Провести полное исследование функций и построить их графики.

3.1 y = −3 + 2 ln \frac{x+3}{x} 3.2 y = −(2x + 1)e^{2(x+1)} 3.3 y = \frac{x^{3}}{ln x} 3.4 y = \frac{x^{2}}{e^{2x}} 3.5 y = −1 + 2 ln \frac{x}{x+1} 3.6 y = (4 − x)e^{x−3} 3.7 y = −1 + ln \frac{x+6}{x} 3.8 y = (2x + 3)e^{−2(x+1)} 3.9 y = −1 + 3 ln \frac{x}{x−3} 3.10 y = \frac{e^{2−x}}{2−x} 3.11 y = x^{2} ln x 3.12 y = \frac{e^{2(x+1)}}{2(x+1)} 3.13 y = \frac{ln^{2}x}{x} 3.14 y = (3 − x)e^{x−2} 3.15 y = 3 − 3 ln \frac{x}{x+4} 3.16 y = \frac{x^{5}}{e^{x}} 3.17 y = \frac{x}{ln^{2}x} 3.18 y = −\frac{e^{−(x+2)}}{x+2} 3.19 y = \frac{x^{2}}{ln x} 3.20 y = (x − 2)e^{3−x} 3.21 y = 1 + ln \frac{x}{x+2} 3.22 y = \frac{e^{x}}{x^{5}} 3.23 y = \frac{ln x}{x^{2}} 3.24 y = (2x − 1)e^{2(1−x)} 3.25 y = −2 + ln \frac{x}{x−2} 3.26 y = (x + 4)e^{(x+3)} 3.27 y = −1 + ln \frac{x}{x+5} 3.28 y = (x + 4)e^{−(x+3)} 3.29 y = 1 + 2 ln \frac{x−1}{x} 3.30 y = e^{x−3}(3 − x) 3.31 y = 2 + ln \frac{x−5}{x}

З а д а ч а 4. Провести полное исследование функций и построить их графики.

4.1 y = \frac{1}{(sin x−cos x)^{2}} 4.2 y = \sqrt[3]{sin x}

4.3 y = e^{− sin x−cos x} 4.4 y = ln(cos x − sin x) 4.5 y = \sqrt{cos x} 4.6 y = ln(\sqrt{2} cos x) 4.7 y = \sqrt{\frac{sin x+cos x}{\sqrt{2}}} 4.8 y = arctg \frac{sin x+cos x}{\sqrt{2}} 4.9 y = e^{sin x+cos x} 4.10 y = ln(cos x + sin x) 4.11 y = \frac{1}{sin x+cos x} 4.12 y = arctg sin x 4.13 y = e^{\sqrt{2} sin x} 4.14 y = ln(\sqrt{2} sin x) 4.15 y = \frac{1}{sin x−cos x} 4.16 y = −arctg cos x 4.17 y = e^{sin x−cos x} 4.18 y = ln(−\sqrt{2} cos x) 4.19 y = arctg(\frac{sin x−cos x}{\sqrt{2}}) 4.20 y = \frac{1}{(sin x+cos x)^{2}} 4.21 y = e^{−\sqrt{2} cos x} 4.22 y = \sqrt[3]{cos x} 4.23 y = e^{−\sqrt{2} sin x} 4.24 y = ln(−\sqrt{2} sin x) 4.25 y = \sqrt{sin x} 4.26 y = \sqrt{\frac{sin x−cos x}{\sqrt{2}}}

37 4.27 y = e^{cos x−sin x} 4.28 y = ln(sin x − cos x) 4.29 y = e^{\sqrt{2} cos x} 4.30 y = ln(− sin x − cos x) 3.31 y = \sqrt[3]{\frac{sin x+cos x}{\sqrt{2}}}

З а д а ч а 5. Провести полное исследование и построить кривые, заданные параметрически.

5.1\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}}{t−1} \\ y = \frac{t^{2}}{t^{2}−1} \end{matrix} 5.2\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}}{1−t^{2}} \\ y = \frac{t^{3}}{1−t^{2}} \end{matrix}

5.3\{ \begin{matrix}x = \frac{(t+2)^{2}}{t+1} \\ y = \frac{(t−2)^{2}}{t−1} \end{matrix} 5.4\{ \begin{matrix}x = \frac{(t−1)^{2}}{t} \\ y = \frac{(t−1)^{2}}{t+1} \end{matrix}

5.5\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}+1}{t} \\ y = \frac{t^{2}−3t}{t+1} \end{matrix} 5.6\{ \begin{matrix}x = \frac{1}{1−t^{2}} \\ y = \frac{t^{3}}{1−t^{2}} \end{matrix}

5.7\{ \begin{matrix}x = \frac{t}{t^{2}+1} \\ y = \frac{(t−1)^{2}}{t+1} \end{matrix} 5.8\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}}{t−1} \\ y = \frac{1}{1+t^{2}} \end{matrix}

5.9\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}}{1−t^{2}} \\ y = \frac{1}{1+t^{2}} \end{matrix} 5.10\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}}{1−t} \\ y = \frac{t^{3}}{1−t^{2}} \end{matrix}

5.11\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}}{t−1} \\ y = \frac{t}{t^{2}−1} \end{matrix} 5.12\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{3}}{(t+1)^{2}} \\ y = \frac{t^{2}}{t+1} \end{matrix}

5.13\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{3}}{1−t^{2}} \\ y = \frac{1}{1−t^{2}} \end{matrix} 5.14\{ \begin{matrix}x = \frac{(t−1)^{2}}{t+1} \\ y = \frac{(t−1)^{3}}{t^{2}} \end{matrix}

5.15\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{3}}{(t−1)^{2}} \\ y = \frac{t^{2}}{t−1} \end{matrix} 5.16\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{3}}{(t+1)^{2}} \\ y = \frac{t^{2}}{t^{2}−1} \end{matrix}

5.17\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{3}}{1−t} \\ y = \frac{t^{2}}{1−t^{2}} \end{matrix} 5.18\{ \begin{matrix}x = \frac{t^{2}}{t+2} \\ y = \frac{t^{3}}{(t+1)^{2}} \end{matrix}

З а д а ч а 6. Построить кривые, заданные в полярных координатах.

6.1 ρ = cos φ + 2 sin φ 6.2 ρ = 2 sin φ − 3 cos φ 6.3 ρ = −3 sin φ − cos φ 6.4 ρ = sin φ + 3 cos φ 6.5 ρ = 3 sin φ − 4 cos φ 6.6 ρ = −2 cos φ − sin φ 6.7 ρ = cos φ − \sqrt{3} sin φ 6.8 ρ = sin φ + \sqrt{3} cos φ 6.9 ρ = −\sqrt{3} sin φ − cos φ 6.10 ρ = 4 cos φ − sin φ 6.11 ρ = sin φ − 2 cos φ 6.12 ρ = −2 sin φ − 3 cos φ 6.13 ρ = 3 sin φ − cos φ 6.14 ρ = 4 sin φ + 3 cos φ 6.15 ρ = −3 sin φ − 4 cos φ 6.16 ρ = 3 sin φ + 2 cos φ 6.17 ρ = 4 sin φ + cos φ 6.18 ρ = −4 cos φ − sin φ

З а д а ч а 7. Построить кривые, заданные в полярных координатах.

7.1 ρ = 1 + 2 cos 2φ 7.2 ρ = 3 sin \frac{φ}{2} 7.3 ρ = 1 − 2 sin 3φ 7.4 ρ = 2 cos \frac{φ}{3} 7.5 ρ = 2 sin φ + \sqrt{3} 7.6 ρ = cos 3φ − \frac{1}{2} 7.7 ρ = 2 + sin 3φ 7.8 ρ = − cos \frac{φ}{2} 7.9 ρ = sin(2φ − \frac{π}{3} ) 7.10 ρ = 2 + cos 4φ 7.11 ρ = 3 − sin 3φ 7.12 ρ = 1 − 2 cos 2φ 7.13 ρ = − sin \frac{φ}{4} 7.14 ρ = 1 − cos(φ − \frac{π}{3} ) 7.15 ρ = \frac{1}{2} + sin 4φ 7.16 ρ = 1 + sin(φ + \frac{π}{4} ) 7.17 ρ = 1 + sin 3φ 7.18 ρ = cos(4φ − \frac{2π}{3} )

39 З а д а ч а 8. Построить кривые, заданные в полярных координатах.

8.1 ρ = \frac{φ^{2}}{φ− \frac{π}{4}} 8.2 ρ = \frac{φ− \frac{π}{4}}{φ+ \frac{π}{2}} 8.3 ρ = \frac{1}{φ(φ− \frac{π}{2} )} 8.4 ρ = \frac{φ+ \frac{π}{2}}{φ− \frac{π}{4}} 8.5 ρ = \frac{φ(φ− \frac{π}{4} )}{φ− \frac{π}{2}} 8.6 ρ = \frac{( \frac{π}{2} −φ)φ}{φ− \frac{π}{4}} 8.7 ρ = \frac{φ−π}{φ− \frac{π}{3}} 8.8 ρ = \frac{1}{π^{2}−φ^{2}} 8.9 ρ = \frac{φ}{π^{2}−4φ^{2}} 8.10 ρ = \frac{φ− \frac{π}{4}}{φ^{2}−π^{2}} 8.11 ρ = \frac{φ−π}{6φ+π} 8.12 ρ = \frac{φ^{2}−π^{2}}{φ} 8.13 ρ = \frac{2φ}{φ− \frac{π}{6}} 8.14 ρ = \frac{1}{4π^{2}−φ^{2}} 8.15 ρ = \frac{φ− \frac{π}{3}}{φ+ \frac{π}{3}} 8.16 ρ = (φ − \frac{π}{3} )φ(φ + \frac{π}{6} ) 8.17 ρ = \frac{φ− \frac{π}{3}}{φ(φ+ \frac{π}{6} )} 8.18 ρ = \frac{φ−π}{φ+ \frac{π}{4}}

З а д а ч а 9. Построить кривые, перейдя к полярным координатам.

9.1 (x^{2} + y^{2})^{2} = y^{3} 9.2 (x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}} = x 9.3 (x^{2} + y^{2})^{3} = 4x^{2}y^{2} 9.4 (x^{2} + y^{2})^{3} = x^{4} 9.5 (x^{2} + y^{2})^{2} = x^{2} − y^{2} 9.6 (x^{2} + y^{2})^{2} = xy^{2} 9.7 (x^{2} + y^{2} − 2x)^{2} = x^{2} + y^{2} 9.8 (x^{2} + y^{2})x = y 9.9 (x^{2} + y^{2})^{2} = x^{3} 9.10 (x^{2} + y^{2})^{2} = x^{2}y 9.11 (x^{2} + y^{2})^{3} = y^{4} 9.12 x^{2} + y^{2} = arctg \frac{y}{x} 9.13 (x^{2} + y^{2})^{3} = 4xy(x^{2} − y^{2}) 9.14 (x^{2} + y^{2})^{2} = 2xy 9.15 (x^{2} + y^{2} − 2y)^{2} = x^{2} + y^{2} 9.16 x^{2} + y^{2} − y = \sqrt{x^{2} + y^{2}} 9.17 \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2} + y^{2} + x 9.18 (x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}} = y

Список литературы

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. - М.: Дрофа, 2006. Т.1. - 702 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Физматлит, 2006. Т.1. - 679 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1985. Т.1. - 456 с.

4. Райхмист Р.Б. Графики функций. - М.: Высшая школа, 1991.- 159 с.

41

Содержание

Предисловие .......................................................3 I. Построение графика функции, заданной уравнением y = f(x) ..4 II. Построение кривых, заданных параметрически ...............13 III. Построение кривых, заданных в полярных координатах .....25 IV. Типовые расчёты .............................................35 Список литературы ...............................................41 Галиева Файруза Ахматовна

Построение кривых

Учебное пособие

Компьютерный набор и верстка Н. О. Вицина

Подписано в печать 06.09.10. Формат 60 × 84^{1}/_{16} . Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,56. Уч. изд. л. 2,1. Тираж 100 экз. Заказ � Издательство �Удмуртский университет� 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4 тел./факс: +7(3412)500-295 E-mail: editorial@udsu.ru