Обобщенная разрешимость смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения высокого порядка с вырожденным ядром

Abstract

Рассматриваются вопросы обобщенной разрешимости смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с псевдопараболическим оператором произвольной натуральной степени и с вырожденным ядром. Используется подход В.А. Ильина для определения слабого обобщенного решения поставленной задачи с начальными и граничными условиями. Применяется метод ряда Фурье, основанный на разделение переменных. Получается счетная система алгебраических уравнений с использованием вырожденности ядра и интегрированием при начальных условиях. Для решения счетной системы алгебраических уравнений и вывода искомой функции из знака определителя модифицируется известный метод Крамера. Это позволяет получить счетную систему нелинейных интегральных уравнений при регулярных значениях спектрального параметра. Доказывается лемма об однозначной разрешимости в банаховом пространстве этой счетной системы нелинейных интегральных уравнений методом сжимающих отображений. Доказывается теорема о сходимости ряда Фурье, полученного как формальное решение поставленной смешанной задачи. При доказательстве леммы и теоремы многократно применяются неравенства Гельдера, Минковского и Бесселя.