О спектре гамильтониана Ландау с периодическим электрическим потенциалом $V\in L^p_{\mathrm {loc}}(\mathbb{R}^2)$, $p>1$

Abstract

Рассматривается двумерный оператор Шрёдингера $\widehat{H}_B+V$ с однородным магнитным полем $B\in {\mathbb R}$ и с электрическим потенциалом $V$ из пространства $L^p_{\Lambda }({\mathbb R}^2;{\mathbb R})$ периодических с решеткой периодов $\Lambda \subset {\mathbb R}^2$ вещественнозначных функций $V\in L^p_{\mathrm {loc}}({\mathbb R}^2)$, $p>1$. Предполагается, что поток $\eta =(2\pi )^{-1}Bv(K)$ магнитного поля $B$ через элементарную ячейку $K$ решетки $\Lambda $, где $v(K)$ - площадь ячейки $K$, является рациональным числом (из $\mathbb Q$). Доказано, что для любого $p>1$ (и любой решетки $\Lambda $) в банаховом пространстве $(L^p_{\Lambda }({\mathbb R}^2;\mathbb R),\| \cdot \| _{L^p(K)})$ существует типичное в смысле Бэра множество $\mathcal O$ (содержащее плотное $G_{\delta}$-множество) такое, что для любого электрического потенциала $V\in {\mathcal O}$ и любого однородного магнитного поля $B$ с рациональным потоком $\eta \in {\mathbb Q}$ спектр оператора $\widehat{H}_B+V$ абсолютно непрерывен.