Смешанные интегро-дифференциальные уравнения с операторами Капуто дробного порядка и спектральными параметрами

Abstract

Рассматриваются вопросы однозначной разрешимости краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с двумя операторами Капуто дробного порядка и спектральными параметрами. Интегро-дифференциальное уравнение смешанного типа является интегро-дифференциальным уравнением с частными производными дробного порядка как в положительной, так и в отрицательной частях рассматриваемой многомерной прямоугольной области. Порядок дробного оператора Капуто меньше в положительной части области, чем порядок соответствующего оператора в отрицательной части области. Используя метод рядов Фурье, получены две системы счетных систем обыкновенных дробных интегро-дифференциальных уравнений с вырожденными ядрами. Далее используется метод вырожденных ядер. Для определения произвольных постоянных интегрирования получена система алгебраических уравнений. Из этой системы были вычислены регулярные и нерегулярные значения спектральных параметров. Решение рассматриваемой задачи получено в виде рядов Фурье. Доказана однозначная разрешимость задачи для регулярных значений спектральных параметров. При доказательстве сходимости рядов Фурье используются свойства функции Миттаг-Леффлера, неравенство Коши-Шварца и неравенство Бесселя. Также изучена непрерывная зависимость решения задачи от малого параметра при регулярных значениях спектральных параметров. Результаты сформулированы в виде теоремы.