Пространства Стоуна некоторых булевых алгебр

Abstract

Работа посвящена изучению пространств Стоуна различных булевых алгебр и установлению соотношений подмножеств этих пространств с пространством Стоуна-Чеха $\beta\omega$, канторовым совершенным множеством и другими. Рассмотрены три счетных частично упорядоченных множества и для каждого из них два вида алгебр подмножеств. Первое рассматриваемое пространство - это пространство $S\mathfrak B_{1,1}$, построенное Беллом. Доказано существование копий пространства $\beta\omega$ и сходящихся последовательностей в пространстве $S\mathfrak B_{1,1}$. Далее рассматривается пространство $S\mathfrak B_{1,2}$. Доказано существование открыто-замкнутых копий пространства $\beta\omega$ в пространстве $S\mathfrak B_{1,2}$, а также существование изолированных точек в его наросте. Описаны подмножества пространства $\mathfrak{N}_2$, замыкание которых есть открыто-замкнутая копия $\beta\omega$. Построены примеры подмножества пространства $\mathfrak{N}_2$, замыкание которого не открыто-замкнуто в $S\mathfrak B_{1,2}$, но является копией $\beta\omega$, и подмножества $\mathfrak{N}_2$, замыкание которого открыто-замкнуто в $S\mathfrak B_{1,2}$, но не является копией $\beta\omega$. Также доказано, что $S\mathfrak B_{1,2}$ вложимо в $S\mathfrak B_{1,1}$ в качестве замкнутого подмножества, нарост которого нигде не плотен в $S\mathfrak B_{1,1}^*$. Далее рассматривается пространство $S\mathfrak B_{1,3}$. Доказано, что подпространство свободных ультрафильтров пространства $S\mathfrak B_{1,3}$ удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабельно. Описаны точки пространства $S\mathfrak B_{1,3}$ как ультрафильтры, обладающие базисами определенного вида. В конце рассматриваются пространства $S\mathfrak B_{2,1}$, $S\mathfrak B_{2,2}$ и $S\mathfrak B_{2,3}$. Булевы алгебры, пространствами Стоуна которых они являются, имеют более простую структуру. Доказано, что пространство $S\mathfrak B_{2,3}$ гомеоморфно канторовому совершенному множеству, а его подпространство свободных ультрафильтров гомеоморфно множеству иррациональных чисел. Доказано, что подпространства свободных ультрафильтров пространств $S\mathfrak B_{2,1}$ и $S\mathfrak B_{2,3}$ гомеоморфны канторовому совершенному множеству.