|
Abstract:
|
Для периодического $n$-мерного оператора Шрёдингера при $n \geqslant 4$ доказана абсолютная непрерывность спектра, если магнитный потенциал $A$ и электрический потенциал $V+\sum f_j\delta_{S_j}$ удовлетворяют некоторым ограничениям и, в частности, можно предполагать выполнение следующих условий:
(1) магнитный потенциал $A\colon{\mathbb{R}}^n\to{\mathbb{R}}^n$ либо имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, либо принадлежит какому-либо из пространств $H^q_{\mathrm{loc}}({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^n)$, $2q>n-1$, или $C({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^n)\cap H^q_{\mathrm{loc}}({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^n)$, $2q>n-2$;
(2) функция $V\colon{\mathbb{R}}^n\to\mathbb{R}$ принадлежит пространству Морри ${\mathfrak{L}}^{2,p}$, $p\in\big(\frac{n-1}{2},\frac{n}{2}\big]$, периодических функций (с заданной решеткой периодов) и
$$\lim\limits_{\tau\to+0} \sup\limits_{0<r\leqslant\tau} \sup\limits_{x\in{\mathbb{R}}^n}r^2\bigg(\big(v(B^n_r)\big)^{-1} \int_{B^n_r(x)}|{\mathcal{V}}(y)|^pdy\bigg)^{1/p}\leqslant C,$$
где $B^n_r(x)$ — замкнутый шар радиуса $r>0$ с центром в точке $x\in{\mathbb{R}}^n$, $B^n_r=B^n_r(0)$, $v(B^n_r)$ — объем шара $B^n_r$, $C=C(n,p;A)>0$;
(3) $\delta_{S_j}$ — $\delta$-функции, сосредоточенные на периодических $C^1$-(кусочно-)гладких гиперповерхностях $S_j$, $f_j\in L^p_{\mathrm{loc}}(S_j)$, $j=1,\ldots,m$. На гиперповерхности $S_j$ накладываются дополнительные геометрические условия, от которых зависит выбор числа $p\geqslant n-1$. В частности, если $S_j$ — $C^2$-гладкие гиперповерхности и для какого-либо единичного вектора $e$ из некоторого плотного множества на единичной сфере $S^{n-1}$, зависящего от магнитного потенциала $A$, нормальная кривизна гиперповерхностей $S_j$ вдоль направления вектора $e$ во всех точках касания с прямыми $\{x_0+te\colon t\in\mathbb{R}\}$, $x_0\in{\mathbb{R}}^n$, ненулевая, то можно выбрать число $p>\frac{3n}{2}-3$, $n\geqslant 4$. |
